希尔伯特数学问题

    [拼音]:Xi’erbote shuxue wenti [外文]:Hilbert’s mathem […]

    [拼音]:Xi’erbote shuxue wenti

    [外文]:Hilbert’s mathematical problems

    1900年,德国数学家D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演,其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精闢的见解,而整个讲演的核心部分则是希尔伯特根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题。

    (1)连续统假设1963年,P.J.科恩证明了:连续统假设的真伪不可能在策梅洛-弗伦克尔公理系统内判明。

    (2)算术公理的相容性1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题尚未解决。

    (3)两等高等底的四面体体积之相等 M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

    (4)直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后,在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展,但问题并未解决。

    (5)不要定义群的函式的可微性假设的李群概念 A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。

    (6)物理公理的数学处理 公理化物理学的一般意义仍需探讨。至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化,已由Α.Η.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。

    (7)某些数的无理性与超越性1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分,即对于任意代数数α≠0,1,和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。

    (8)素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966),但离最终解决尚有距离。

    (9)任意数域中最一般的互反律之证明 已由高木贞治(1921)和E.阿廷(1927)解决。

    (10) 丢番图方程可解性的判别1970年,ю.Β.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般演算法不存在。

     系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936,1951)在这问题上获得重要结果。

     阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。

     不可能用只有两个变数的函式解一般的七次方程连续函式情形于1957年由Β.И.阿诺尔德解决。解析函式情形则尚未解决。

     证明某类完全函式系的有限性1958年,永田雅宜给出了否定解决。

     舒伯特计数演算的严格基础代数几何基础已由B.L.范·德·瓦尔登(1938~1940)与A.韦伊(1950)建立,但舒伯特演算的合理性仍待解决。

     代数曲线与曲面的拓扑对该问题的后半部分,И.Γ.彼得罗夫斯基曾宣告证明了 n=2时极限环个数不超过 3,但这一结论是错误的,已由中国数学家举出反例(1979)。

     正定形式的平方表示式已由E.阿廷于1926年解决。

     由全等多面体构造空间部分解决。

     正则变分问题的解是否一定解析1904年,С.Η.伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆方程其解必定解析。该结果后又被推广到多变元和椭圆组情形。

    一般边值问题 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。

    具有给定单值群的线性微分方程的存在性 已由希尔伯特本人(1905)和H.罗尔(1957)的工作解决。

    解析关系的单值化 一个变数的情形已由P.克贝(1907)解决。

    变分法的进一步发展。

    这23个问题涉及现代数学大部分重要领域,推动了20世纪数学的发展,数学史上称之为希尔伯特数学问题。

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